Угол между векторами в трёхмерном пространстве

Геометрия 11 класс : Угол между векторами. Скалярное произведение векторов [4:19]

Угол между векторами, в трёхмерном пространстве — угол между направлениями радиус-векторов соответствующих точек.

Обозначения

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — первый вектор;

${\bar {r}}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ — второй вектор;

$\varphi _{{\bar {r}}_{1}{\bar {r}}_{2}}$ — угол между первым и вторым векторами $(0<\varphi _{{\bar {r}}_{1}{\bar {r}}_{2}}<\pi )$.

Формулы

Векторная форма

$\varphi _{{\overline {r}}_{1}{\overline {r}}_{2}}=\arccos {\frac {\left({\overline {r}}_{1}\cdot {\overline {r}}_{2}\right)}{|{\overline {r}}_{1}|\cdot |{\overline {r}}_{2}|}}$

Координатная форма

$\varphi _{{\overline {r}}_{1}{\overline {r}}_{2}}=\arccos {\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}}}$

Другие операции:

1. нахождение длины вектора;
2. сложение векторов;
3. вычитание векторов;
4. умножение вектора на число;
5. умножение координат векторов;
6. деление координат векторов;
7. извлечение корня из координат вектора;
8. скалярное произведение;
9. векторное произведение;
10. смешанное произведение;
11. двойное векторное произведение;
12. нахождение угла между векторами;
13. проекция вектора на вектор;
14. ортогонализация векторов.

Другие формулы:

1. Угол между векторами;
2. Угол между прямыми;
3. Угол между плоскостями;
4. Угол между прямой и плоскостью;
5. Тригонометрические функции углов.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.