Угол между плоскостями в трёхмерном пространстве

Видеоурок «Угол между плоскостями» // Математика от alwebra.com.ua [4:56]

Угол между плоскостями — это угол между направлениями нормалей этих плоскостей.

Обозначения

${\bar {n}}_{1}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ — нормаль к первой плоскости;

${\bar {n}}_{2}=(A_{2},B_{2},C_{2})$ — нормаль ко второй плоскости;

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ — уравнение первой плоскости;

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ — уравнение второй плоскости;

$\varphi _{{\bar {n}}_{1}{\bar {n}}_{2}}$ — угол между первой и второй плоскостями $(0<\varphi _{{\bar {n}}_{1}{\bar {n}}_{2}}<\pi )$.

Формулы

Векторная форма

$\varphi _{{\bar {n}}_{1}{\bar {n}}_{2}}=arccos{\frac {\left({\bar {n}}_{1}\cdot {\bar {n}}_{2}\right)}{\left|{\bar {n}}_{1}\right|\cdot \left|{\bar {n}}_{2}\right|}}$

Координатная форма

$\varphi _{{\bar {n}}_{1}{\bar {n}}_{2}}=arccos{\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}}}$

Другие формулы:

1. Угол между векторами;
2. Угол между прямыми;
3. Угол между плоскостями;
4. Угол между прямой и плоскостью;
5. Тригонометрические функции углов.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.