Ряд Тейлора

Ряд Тейлора — это степенной ряд, в котором слагаемыми служат действительная функция f(x) в точке a и её производные всех порядков в точке a, делённые на факториал соответствующий порядку производной и умноженные на (x − a) в соответствующей степени.

Формула

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots$

Формула Тейлора за 3 минуты // bezbotvy [2:14]

Формула Тейлора / Юрий Григорьев [1:26:26]

$f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Ряд Тейлора является обобщением ряда Маклорена (в котором a = 0) на случай произвольного a.

Формула с остаточным членом R_n имеет вид:

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}$

$f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}(x-a)^{i}+R_{n}$

$R_{n}={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$, $\xi \in (a,x)$

Другие ряды

1. Числовой ряд;
2. Ряд Маклорена;
3. Ряд Тейлора;
4. Ряд Тейлора комплексный;
5. Ряд Лорана;
6. Ряд Фурье;
7. Ряд Фурье комплексный.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.