Ряд Лорана

Лекция №6 по ТФКП. Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты. Городецкий С.Е. // Физтех-Live [1:57:03]

Ряд Лорана — это степенной ряд для комплексной функции f(z), аналитичной в кольце между двумя концентрическими окружностями K₁ и K₂ с центрами в точке a и радиусами r₁ и r₂ и r₁ < r₂, являющийся разложением по положительным и отрицательным степеням (z − a).

Формула

$f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{-n}(z-a)^{-n},\ r_{1}<|z-a|<r_{2},{\text{где}}$

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{K'_{2}}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}},\ b_{-n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{K'_{1}}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{-n+1}}}$

$K'_{1}=\{z:|z-a|=r'_{1},\ r'_{1}>r_{1}\},\ K'_{2}=\{z:|z-a|=r'_{2},\ r'_{2}<r_{2}\}$

Ряд Лорана можно представить в виде:

$f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},\ r_{1}<|z-a|<r_{2},\ {\text{где}}$

$c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{K'}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}}$

$K'=\{z:|z-a|=r',\ r_{1}<r'<r_{2}\}$

Другие ряды:

1. Числовой ряд;
2. Ряд Маклорена;
3. Ряд Тейлора;
4. Ряд Тейлора комплексный;
5. Ряд Лорана;
6. Ряд Фурье;
7. Ряд Фурье комплексный.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.