Ряд Маклорена

Формула Тейлора / ряд Маклорена / разложение ln(1+x) в ряд Маклорена

Ряд Маклорена — это степенной ряд, в котором слагаемыми служат действительная функция f(x) в точке 0 и её производные всех порядков в точке 0, делённые на факториал соответствующий порядку производной и умноженные на x в соответствующей степени.

Формулы

$f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}x^{3}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}+\ldots \Leftrightarrow f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$

• Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора при a = 0.

Примеры

Разложение «элементарных» функций в ряд Маклорена:

$e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\ldots ,\ \forall x\in (-\infty ;+\infty )$

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots +(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}+\ldots ,\ \forall x\in (-1;1]$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+\ldots ,\ \forall x\in (-\infty ;+\infty )$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\ldots ,\ \forall x\in (-\infty ;+\infty )$

$\arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{2!!\cdot 3}}+{\frac {3!!x^{5}}{4!!\cdot 5}}+{\frac {5!!x^{7}}{6!!\cdot 7}}+\ldots +{\frac {(2n-1)!!x^{2n+1}}{(2n)!!(2n+1)}}+\ldots ,\ \forall x\in (-1;1)$

$\mathrm {arctg} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}+\ldots ,\ \forall x\in (-1;1)$

$\mathrm {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots +{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+\ldots ,\ \forall x\in (-\infty ;+\infty )$

$\mathrm {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots +{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\ldots ,\ \forall x\in (-\infty ;+\infty )$

$\mathrm {arsh} \,x=x-{\frac {x^{3}}{2!!\cdot 3}}+{\frac {3!!x^{5}}{4!!\cdot 5}}-{\frac {5!!x^{7}}{6!!\cdot 7}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!x^{2n+1}}{(2n)!!(2n+1)}}+\ldots ,\ \forall x\in (-1;1)$

$\mathrm {arcth} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots +{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}+\ldots ,\ \forall x\in (-1;1)$

Другие ряды:

1. Числовой ряд;
2. Ряд Маклорена;
3. Ряд Тейлора;
4. Ряд Тейлора комплексный;
5. Ряд Лорана;
6. Ряд Фурье;
7. Ряд Фурье комплексный.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.