Простейшее кубическое уравнение

Простейшее кубическое уравнение / ЕГЭ. Задание 5. Математика. Профильный уровень / Борис Трушин [3:06]

Простейшее кубическое уравнение («уравнение куба») — это кубическое уравнение вида x³ = a.

Если a — действительное число, то уравнение имеет одно действительное решение. При этом если a не равно 0, оно имеет три комплексных решения (одно из которых выражается действительным числом).

Обозначения

x — переменная;

x₁, x₂, x₃ — корни кубического уравнения — комплексные числа;

a — действительное число;

x³ = a — простейшее кубическое уравнение («уравнение куба»).

Формулы

$x^{3}=a\Leftrightarrow {\begin{cases}x_{1}={\sqrt[{3}]{a}}\\x_{2}={\sqrt[{3}]{a}}\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)\\x_{3}={\sqrt[{3}]{a}}\left(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x_{1}={\sqrt[{3}]{a}}\cos 0\\x_{2}={\sqrt[{3}]{a}}\left(\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}}\right)\\x_{3}={\sqrt[{3}]{a}}\left(\cos {\frac {4\pi }{3}}+i\sin {\frac {4\pi }{3}}\right)\end{cases}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x_{k+1}={\sqrt[{3}]{a}}\left(\cos {\frac {2\pi k}{3}}+i\sin {\frac {2\pi k}{3}}\right),\ k\in \{0;1;2\}$

Другие уравнения:

• линейное уравнение;
• квадратное уравнение;
• уравнение квадрата;
• кубическое уравнение;
• уравнение куба;
• уравнение синуса;
• уравнение косинуса;
• уравнение тангенса;
• уравнение котангенса;
• уравнение секанса;
• уравнение косеканса.