Тождество Эрмита в теории чисел

Тождество Эрмита — тождество в элементарной теории чисел, описывающее свойство целой части числа.

Формулировка

Для любого вещественного числа $x$ и целого $m\geqslant 1$ имеет место равенство

$\lfloor mx\rfloor =\lfloor x\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor$

(тождество Эрмита); здесь $\lfloor \cdot \rfloor$ обозначает целую часть («пол»).

Это до некоторой степени удивительный результат, ибо функция пол является целочисленной аппроксимацией вещественнозначной величины — тем не менее, отдельное приближение слева равняется сумме их целой компании справа. Если считать, что $\lfloor x\rfloor$— это, грубо говоря, $x-{\frac {1}{2}}$ в среднем, то левая часть, грубо говоря, равна примерно $mx-{\frac {1}{2}}$, в то время как правая часть — это приблизительно $\left(x-{\frac {1}{2}}\right)+\left(x-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{m}}\right)+\ldots +\left(x-{\frac {1}{2}}+{\frac {m-1}{m}}\right)=mx-{\frac {1}{2}}$. Но сумма всех этих грубых приближений оказывается величиной точной!

 — Р. Грэм, Д. Кнут, О. Паташник.

Частным случаем тождества Эрмита является следующая формула разложения целого числа $n$ (получаемая заменой $x$ на ${\frac {n}{m}}$):

$n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .\quad \quad \quad (*)$

Доказательства

В своей оригинальной работе (1885) для доказательства указанного тождества Ш. Эрмит использовал аппарат производящих функций. В дальнейшем были опубликованы многочисленные более простые доказательства, некоторые из которых приведены ниже.

Доказательство Штерна

Следующее элементарное доказательство принадлежит М. А. Штерну (1886). Существует (однозначно определённое) целое $k,\quad 0\leqslant k<m$, для которого выполнено двойное неравенство

$\lfloor x\rfloor +{\frac {k}{m}}\leqslant x<\lfloor x\rfloor +{\frac {k+1}{m}}.\quad \quad \quad \quad (**)$

Умножая все части этого неравенства на $m$, получим

$m\lfloor x\rfloor +k\leqslant mx<m\lfloor x\rfloor +k+1,$

откуда

$\lfloor mx\rfloor =m\lfloor x\rfloor +k$.

Из $(**)$ также получим оценки

$x+{\frac {m-k-1}{m}}<\lfloor x\rfloor +{\frac {k+1}{m}}+{\frac {m-k-1}{m}}=\lfloor x\rfloor +1$

и

$\lfloor x\rfloor +1=\lfloor x\rfloor +{\frac {k}{m}}+{\frac {m-k}{m}}\leqslant x+{\frac {m-k}{m}},$

то есть

$x+{\frac {m-k-1}{m}}<\lfloor x\rfloor +1\leqslant x+{\frac {m-k}{m}}.$

Отсюда сразу следует, что каждое из слагаемых

$\lfloor x\rfloor ,\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor ,\ldots ,\left\lfloor x+{\frac {m-k-1}{m}}\right\rfloor$

равно $\lfloor x\rfloor$, а каждое из слагаемых

$\left\lfloor x+{\frac {m-k}{m}}\right\rfloor ,\left\lfloor x+{\frac {m-k+1}{m}}\right\rfloor ,\ldots ,\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor$

равно $\lfloor x\rfloor +1$. Поэтому сумма всех этих слагаемых равна

$(m-k)\lfloor x\rfloor +k(\lfloor x\rfloor +1)=m\lfloor x\rfloor +k=\lfloor mx\rfloor .$

Доказательство Пойа и Сегё

Из равенства $\lfloor y+l\rfloor =\lfloor y\rfloor +l$, верного для произвольных $x\in \mathbb {R} ,\ l\in \mathbb {Z}$, следует, что для доказательства тождества Эрмита достаточно рассмотреть случай $0\leqslant x<1$. Пусть (в этом предположении) целое $k$ выбрано так, что

$x+{\frac {k-1}{m}}<1\leqslant x+{\frac {k}{m}}.\quad \quad \quad (***)$

Отсюда последовательно получаем:

$mx+(k-1)<m\leqslant mx+k,$

$k-1<m-mx\leqslant k,$

$-k\leqslant mx-m<-k+1,$

то есть $-k=\lfloor mx-m\rfloor =\lfloor mx\rfloor -m$ и тогда $\lfloor mx\rfloor =m-k$.

Из $(***)$ также сразу следует, что каждое из слагаемых

$\lfloor x\rfloor ,\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor ,\ldots ,\left\lfloor x+{\frac {k-1}{m}}\right\rfloor$

равно $0$, а каждое из оставшихся слагаемых

$\left\lfloor x+{\frac {k}{m}}\right\rfloor ,\left\lfloor x+{\frac {k+1}{m}}\right\rfloor ,\ldots ,\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor$

равно $1$. Таким образом, обе части доказываемого равенства равны $m-k$.

Это доказательство было опубликовано Д. Пойа и Г. Сегё в первом издании их знаменитого сборника задач и теорем из анализа (1925).

Доказательство Мацуоки

Следующее короткое доказательство, основанное на функциональном тождестве, принадлежит Ёсио Мацуоке (1964). Рассмотрим (для фиксированного $m$) вещественную функцию

$f(x)=\lfloor mx\rfloor -\lfloor x\rfloor -\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor -\ldots -\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .$

Тождество Эрмита будет установлено, если будет доказано, что эта функция тождественно равна нулю. Для любого $x\in \mathbb {R}$ имеем

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f\left(x+\frac{1}{m}\right)=\lfloor mx+1\rfloor - \left\lfloor x+\frac{1}{m}\right\rfloor - \left\lfloor x +\frac{2}{m}\right\rfloor -\ldots - \left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor-\lfloor x+1\rfloor=f(x)}

(поскольку $\lfloor mx+1\rfloor =\lfloor mx\rfloor$ и $\lfloor x+1\rfloor =\lfloor x\rfloor$). Вместе с тем, очевидно, $f(x)=0$ при $0\leqslant x<{\frac {1}{m}}$. Поэтому $f(x)=0$ для всех $x\in \mathbb {R}$.

Доказательство с помощью формулы разложения целого числа

Формулу разложения $(*)$ легко доказать без применения тождества Эрмита — например, индукцией по $n$ (формула верна для $n=0$, и, если она верна для $n\in \mathbb {Z}$, то верна и для $n\pm 1$), либо (что, по существу, то же самое) методом, аналогичным методу Мацуоки, описанным выше: рассмотреть, при фиксированном $m$, функцию, определённую для всех $n\in \mathbb {Z}$ равенством

$\varphi (n)=n-\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor ,$

и заметить, что $\varphi (0)=0$ и $\varphi (n+1)=\varphi (n)$ для всех $n\in \mathbb {Z}$, откуда заключить, что $\varphi (n)\equiv 0$.

Далее, тождество Эрмита можно вывести из формулы $(*)$, если в ней положить $n=\lfloor mx\rfloor$ и воспользоваться равенством

$\left\lfloor {\frac {\lfloor y\rfloor +k}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {y+k}{m}}\right\rfloor ,$

верным для произвольных $y\in \mathbb {R}$ и $k,m\in \mathbb {Z}$, $m\geqslant 0$.

Литература

• Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. Основание информатики. — М.: «Мир», 1998. — С. 106—108. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• Семенов И. Л. Антье и мантисса. Сборник задач с решениями / Под ред. Е. В. Хорошиловой. — М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 2015. — С. 52—53, 217—218. — 432 с. — ISBN 978-5-98354-014-9.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Тождество Эрмита», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Тождество_Эрмита» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».