Простаферетическая функция

Простаферетические таблицы для умножения двух натуральных чисел представляют собой таблицы значений функции натурального аргумента  $p(n)=\left[{\frac {n^{2}}{4}}\right]$,  где  $\left[~\right]$  — целая часть. Аналогично, для умножения трёх натуральных чисел можно использовать простаферетические таблицы значений функции  Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p( n ) = \left[\frac{n^3}{24}\right]} .

Основное свойство

Позволяет заменить умножение двух целых чисел операциями вычитания и сложения:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m \cdot n = p( m + n ) - p( m - n )}

Доказательство

$m\cdot n={\frac {(m+n)^{2}}{4}}-{\frac {(m-n)^{2}}{4}}$  (поляризационное тождество)

$=\left[{\frac {(m+n)^{2}}{4}}\right]-\left[{\frac {(m-n)^{2}}{4}}\right]$  (дробные части совпадают — достаточно вычесть второе из первого)

$=p(m+n)-p(m-n)$

Применение

При вычислении вручную

Использование простаферетической функции при вычислениях вручную позволяет резко сократить объём используемых таблиц. Так, таблица умножения чисел от 1 до 1000 должна включать 1 000 000 значений (или 500 500 значений с учётом коммутативности умножения), в то время как таблица простаферетической функции должна содержать всего 2001 значение.

Таблица умножения чисел от 11 до 99 в «Четырёхзначных математических таблицах» Брадиса занимает 23 страницы, таблица же значений от $p(1)$ до $p(198)$ уместилась бы, по-видимому, на 1 странице.