Производная сложной функции

Производная сложной функции // Valery Volkov [25:17]

Производные сложных функций — это производные от функций, состоящих из внешней функции и внутренней функции (функция от функции).

Формулы

$\left[f(g(x))\right]'_{x}=f'_{g}(g(x))\cdot g'_{x}(x)\Leftrightarrow \left[u(v)\right]'_{x}=u'_{v}\cdot v'_{x}$

Функцию f(x)^g(x) можно продифференцировать как сложную функцию, воспользовавшись тождеством: f(x)^g(x)=e^g(x)Ln(f(x)), что в итоге дает:

$\left[f(x)^{g(x)})\right]'_{x}=f(x)^{g(x)}\cdot \left[f'_{x}(x)\cdot {\frac {g(x)}{f(x)}}+g'_{x}(x)\cdot \ln f(x)\right]\Leftrightarrow \left[u^{v}\right]'_{x}=u^{v}\cdot \left(u'_{x}{\frac {v}{u}}+v'_{x}\ln u\right)$

См. также

• Дифференциалы сложных функций

Другие производные:

1. производная;
2. производные элементарных функций;
3. производные тригонометрических функций;
4. производные обратных тригонометрических функций;
5. производные гиперболических функций;
6. производные обратных гиперболических функций;
7. производные сложных функций.