Одноранговая матрица

Одноранговая матрица, матрица ранга 1 (англ. rank-one matrix) — это матрица, размерность пространства столбцов (строк) которой равна единице. Например, матрица $A={\begin{bmatrix}1&4&5\\2&8&10\end{bmatrix}}$ имеет ранг $1$, то есть $\operatorname {rank} (A)=1$, так как каждый её столбец является кратным первого столбца: $A={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&4&5\end{bmatrix}}$

Матрица $A$ является одноранговой $\operatorname {rank} (A_{m\times n})=1$ тогда и только тогда, когда её можно представить как произведение: $A=vw^{t}$, где $v\in \mathbb {R} ^{n}$ и $w\in \mathbb {R} ^{m}$ — вектор-столбцы, а индекс $^{t}$ означает транспонирование матрицы:

$A=\left({\begin{array}{c}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{array}}\right)(v_{1},\dots ,v_{n})=\left[u_{j}v_{k}\right]_{j=1,\dots ,m;k=1,\dots ,n}$

Одноранговые матрицы являются составляющими элементами матриц более высокого ранга. Матрица ранга ${\mathfrak {r}}_{}$ может быть представлена в виде суммы ${\mathfrak {r}}_{}$ матриц ранга $1$, но не может быть представлена в виде суммы меньшего числа матриц ранга $1$.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Одноранговая матрица», расположенная по адресу: — «https://руни.рф/index.php/Одноранговая_матрица» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».