Объём додекаэдра

Додекаэдр

Объём додекаэдра — это число, характеризующее додекаэдр в единицах измерения объёма.

Додекаэдр — это двенадцатигранник с гранями из правильных пятиугольников.

Обозначения

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_дод — площадь поверхности додекаэдра;

V_пирам — объём пирамиды с правильным пятиугольником в основании (грань додекаэдра) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;

V_дод — объём додекаэдра.

Формула

$V_{\text{дод}}={\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}\Leftrightarrow V_{\text{дод}}=12V_{\text{пирам}},\ V_{\text{пирам}}={\frac {15+7{\sqrt {5}}}{48}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{дод}}={\frac {1}{3}}S_{\text{дод}}r,\ S_{\text{дод}}=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2},\ r={\frac {\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}{20}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{дод}}={\frac {10{\sqrt {3}}+2{\sqrt {15}}}{9}}R^{3},\ R={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{4}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{дод}}=10{\sqrt {130-58{\sqrt {5}}}}r^{3},\ r={\frac {\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}{15}}R$

• Заметим, что отношение радиусов вписанной и описанной сфер для додекаэдра и икосаэдра одинаково.

Другие многогранники

1. призма;
2. пирамида;
3. усечённая пирамида;
4. тетраэдр;
5. куб;
6. октаэдр;
7. додекаэдр;
8. икосаэдр;
9. правильный n-гранник.