VIDEO
Длина дуги и радианная мера // KhanAcademyRussian [2:39]
Длина дуги окружности — это число, характеризующее протяжённость дуги окружности в единицах измерения длины.
x1 — абсцисса первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
x2 — абсцисса второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
x2 + y2 = R2 — каноническое уравнение окружности;
r = R — уравнение окружности в полярных координатах;
Lдуг.окр — длина дуги окружности.
L
дуг.окр
=
R
(
arcsin
x
2
R
−
arcsin
x
1
R
)
⇔
L
дуг.окр
=
R
arcsin
y
1
x
2
−
y
2
x
1
R
2
⇔
{\displaystyle L_{\text{дуг.окр}}=R\left(\arcsin {\frac {x_{2}}{R}}-\arcsin {\frac {x_{1}}{R}}\right)\Leftrightarrow L_{\text{дуг.окр}}=R\arcsin {\frac {y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}}{R^{2}}}\Leftrightarrow }
⇔
L
дуг.окр
=
R
α
,
α
=
arcsin
x
2
R
−
arcsin
x
1
R
{\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуг.окр}}=R\alpha ,\ \alpha =\arcsin {\frac {x_{2}}{R}}-\arcsin {\frac {x_{1}}{R}}}
Вывод формулы [ править ]
L
дуг.окр
=
∫
x
1
x
2
1
+
[
(
R
2
−
x
2
)
′
]
2
d
x
=
∫
x
1
x
2
1
+
(
−
x
R
2
−
x
2
)
2
d
x
=
∫
x
1
x
2
1
+
x
2
R
2
−
x
2
d
x
=
{\displaystyle L_{\text{дуг.окр}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left[\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right)'\right]^{2}}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left({\frac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\right)^{2}}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}}dx=}
=
∫
x
1
x
2
R
R
2
−
x
2
d
x
=
R
∫
x
1
x
2
d
x
R
2
−
x
2
=
R
arcsin
x
R
|
x
1
x
2
=
R
(
arcsin
x
2
R
−
arcsin
x
1
R
)
⇒
{\displaystyle =\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}dx=R\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {dx}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}=R\left.\arcsin {\frac {x}{R}}\right|_{x_{1}}^{x_{2}}=R\left(\arcsin {\frac {x_{2}}{R}}-\arcsin {\frac {x_{1}}{R}}\right)\Rightarrow }
⇒
L
дуг.окр
=
R
(
arcsin
x
2
R
−
arcsin
x
1
R
)
{\displaystyle \Rightarrow L_{\text{дуг.окр}}=R\left(\arcsin {\frac {x_{2}}{R}}-\arcsin {\frac {x_{1}}{R}}\right)}
L
дуг.окр
=
∫
φ
1
φ
2
R
2
+
(
R
φ
′
)
2
d
φ
=
∫
φ
1
φ
2
R
2
+
0
2
d
φ
=
R
∫
φ
1
φ
2
1
d
φ
=
R
φ
|
φ
1
φ
2
=
R
(
φ
2
−
φ
1
)
=
R
α
⇒
{\displaystyle L_{\text{дуг.окр}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {R^{2}+\left(R'_{\varphi }\right)^{2}}}d\varphi =\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {R^{2}+0^{2}}}d\varphi =R\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}1d\varphi =\left.R\varphi \right|_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}=R(\varphi _{2}-\varphi _{1})=R\alpha \Rightarrow }
⇒
L
дуг.окр
=
R
α
{\displaystyle \Rightarrow L_{\text{дуг.окр}}=R\alpha }
Другие формулы [ править ]
Длина дуги и радианная мера // KhanAcademyRussian [2:39]
![{\displaystyle L_{\text{дуг.окр}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left[\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right)'\right]^{2}}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left({\frac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\right)^{2}}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}}dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ce7c00660cf71abfe8fbc3b90d6d5a7b201a41)
