VIDEO
Факториал дробного числа. Гамма-функция и бета-функция // Точки Лагранжа [56:21]
Бета-функция — это специальная функция от двух комплексных переменных, имеющая интегральное представление.
x1 = Re(z1 ) — действительная часть (абсцисса) первого числа;
y1 = Im(z1 ) — мнимая часть (ордината) первого числа;
x2 = Re(z2 ) — действительная часть (абсцисса) второго числа;
y2 = Im(z2 ) — мнимая часть (ордината) второго числа;
z1 = x1 + iy1 — первое комплексное число ;
z2 = x2 + iy2 — второе комплексное число;
t — параметр интегрирования;
φ — параметр интегрирования;
Г(z) — гамма-функция;
B(z1 ,z2 ) — бета-функция.
Интеграл Эйлера I рода [ править ]
B
(
x
1
+
i
y
1
,
x
2
+
i
y
2
)
=
∫
0
1
t
x
1
−
1
+
i
y
1
(
1
−
t
)
x
2
−
1
+
i
y
2
d
t
,
x
1
>
0
,
x
2
>
0
⇔
{\displaystyle B(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})=\int \limits _{0}^{1}t^{x_{1}-1+iy_{1}}(1-t)^{x_{2}-1+iy_{2}}dt,\ x_{1}>0,\ x_{2}>0\Leftrightarrow }
⇔
B
(
z
1
,
z
2
)
=
∫
0
1
t
z
1
−
1
(
1
−
t
)
z
2
−
1
d
t
,
R
e
(
z
1
)
>
0
,
R
e
(
z
2
)
>
0
{\displaystyle \Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})=\int \limits _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}dt,\ Re(z_{1})>0,\ Re(z_{2})>0}
Интегральное представление [ править ]
B
(
x
1
+
i
y
1
,
x
2
+
i
y
2
)
=
∫
0
∞
t
x
1
−
1
+
i
y
1
(
1
+
t
)
x
1
+
i
y
1
+
x
2
+
i
y
2
d
t
,
x
1
>
0
,
x
2
>
0
⇔
{\displaystyle B(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x_{1}-1+iy_{1}}}{(1+t)^{x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2}}}}dt,\ x_{1}>0,\ x_{2}>0\Leftrightarrow }
⇔
B
(
z
1
,
z
2
)
=
∫
0
∞
t
z
1
−
1
(
1
+
t
)
z
1
+
z
2
d
t
,
R
e
(
z
1
)
>
0
,
R
e
(
z
2
)
>
0
{\displaystyle \Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}dt,\ Re(z_{1})>0,\ Re(z_{2})>0}
⇔
B
(
z
1
,
z
2
)
=
2
∫
0
π
2
sin
2
z
1
−
1
φ
cos
2
z
2
−
1
φ
d
φ
,
R
e
(
z
1
)
>
0
,
R
e
(
z
2
)
>
0
{\displaystyle \Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})=2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2z_{1}-1}\varphi \cos ^{2z_{2}-1}\varphi d\varphi ,\ Re(z_{1})>0,\ Re(z_{2})>0}
B
(
x
1
+
i
y
1
,
x
2
+
i
y
2
)
=
Γ
(
x
1
+
i
y
1
)
Γ
(
x
2
+
i
y
2
)
Γ
(
x
1
+
i
y
1
+
x
2
+
i
y
2
)
⇔
B
(
z
1
,
z
2
)
=
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
Γ
(
z
1
+
z
2
)
{\displaystyle B(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})={\frac {\Gamma (x_{1}+iy_{1})\Gamma (x_{2}+iy_{2})}{\Gamma (x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2})}}\Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}
B
(
x
1
+
i
y
1
,
x
2
+
i
y
2
)
=
B
(
x
2
+
i
y
2
,
x
1
+
i
y
1
)
⇔
B
(
z
1
,
z
2
)
=
B
(
z
2
,
z
1
)
{\displaystyle B(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})=B(x_{2}+iy_{2},x_{1}+iy_{1})\Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})=B(z_{2},z_{1})}
B
(
x
1
+
i
y
1
,
x
2
+
i
y
2
)
B
(
x
1
+
i
y
1
+
x
2
+
i
y
2
,
x
3
+
i
y
3
)
=
{\displaystyle B(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})B(x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2},x_{3}+iy_{3})=}
=
B
(
x
2
+
i
y
2
,
x
3
+
i
y
3
)
B
(
x
2
+
i
y
2
+
x
3
+
i
y
3
,
x
1
+
i
y
1
)
⇔
{\displaystyle =B(x_{2}+iy_{2},x_{3}+iy_{3})B(x_{2}+iy_{2}+x_{3}+iy_{3},x_{1}+iy_{1})\Leftrightarrow }
⇔
B
(
z
1
,
z
2
)
B
(
z
1
+
z
2
,
z
3
)
=
B
(
z
2
,
z
3
)
B
(
z
2
+
z
3
,
z
1
)
{\displaystyle \Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})B(z_{1}+z_{2},z_{3})=B(z_{2},z_{3})B(z_{2}+z_{3},z_{1})}
B
(
n
1
,
n
2
)
=
Γ
(
n
1
)
Γ
(
n
2
)
Γ
(
n
1
+
n
2
)
,
n
1
∈
N
,
n
2
∈
N
⇔
{\displaystyle B(n_{1},n_{2})={\frac {\Gamma (n_{1})\Gamma (n_{2})}{\Gamma (n_{1}+n_{2})}},\ n_{1}\in \mathbb {N} ,\ n_{2}\in \mathbb {N} \Leftrightarrow }
⇔
B
(
n
1
,
n
2
)
=
(
n
1
−
1
)
!
(
n
2
−
1
)
!
(
n
1
+
n
2
−
1
)
!
,
n
1
∈
N
,
n
2
∈
N
{\displaystyle \Leftrightarrow B(n_{1},n_{2})={\frac {(n_{1}-1)!(n_{2}-1)!}{(n_{1}+n_{2}-1)!}},\ n_{1}\in \mathbb {N} ,\ n_{2}\in \mathbb {N} }
B
(
n
1
+
1
2
,
n
2
+
1
2
)
=
Γ
(
n
1
+
1
2
)
Γ
(
n
2
+
1
2
)
Γ
(
n
1
+
n
2
+
1
)
,
n
1
∈
N
,
n
2
∈
N
⇔
{\displaystyle B\left(n_{1}+{\frac {1}{2}},n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma (n_{1}+n_{2}+1)}},\ n_{1}\in \mathbb {N} ,\ n_{2}\in \mathbb {N} \Leftrightarrow }
⇔
B
(
n
1
+
1
2
,
n
2
+
1
2
)
=
(
2
n
1
−
1
)
!
!
(
2
n
2
−
1
)
!
!
2
n
1
+
n
2
(
n
1
+
n
2
)
!
π
,
n
1
∈
N
,
n
2
∈
N
{\displaystyle \Leftrightarrow B\left(n_{1}+{\frac {1}{2}},n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n_{1}-1)!!(2n_{2}-1)!!}{2^{n_{1}+n_{2}}(n_{1}+n_{2})!}}\pi ,\ n_{1}\in \mathbb {N} ,\ n_{2}\in \mathbb {N} }
B
(
1
2
+
n
,
1
2
−
n
)
=
Γ
(
1
2
+
n
)
Γ
(
1
2
−
n
)
,
n
∈
N
⇔
{\displaystyle B\left({\frac {1}{2}}+n,{\frac {1}{2}}-n\right)=\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right),\ n\in \mathbb {N} \Leftrightarrow }
⇔
B
(
1
2
+
n
,
1
2
−
n
)
=
(
−
1
)
n
π
{\displaystyle \Leftrightarrow B\left({\frac {1}{2}}+n,{\frac {1}{2}}-n\right)=(-1)^{n}\pi }
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.638.
Факториал дробного числа. Гамма-функция и бета-функция // Точки Лагранжа [56:21]
