Формулы для числа пи

 → Пи (число)

Число пи (π) — математическая константа, иррациональное и трансцендентное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. Приблизительно равно 3,1415926535….

Существует множество формул, выражающих число пи через ряды, пределы, интегралы, бесконечные произведения, примеры которых представлены ниже.

Ряд

Число π представимо в виде ряда.

Пример 1

$\pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-\ldots \right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \pi =4\cdot \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\Leftrightarrow \pi =4\cdot \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n-1}}$

Пример 2

$\pi =2{\sqrt {3}}\cdot \left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+{\frac {1}{3^{4}\cdot 9}}-{\frac {1}{3^{5}\cdot 11}}+\ldots \right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \pi =2{\sqrt {3}}\cdot \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}\Leftrightarrow \pi =6{\sqrt {3}}\cdot \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{3^{n}(2n-1)}}$

Бесконечное произведение

Число π представимо в виде бесконечного произведения.

Формула Валлиса

$\pi =2\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot {\frac {12}{11}}\cdot {\frac {12}{13}}\cdot {\frac {14}{13}}\cdot {\frac {14}{15}}\cdot \ldots \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \pi =2\cdot {\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\cdot {\frac {4^{2}}{3\cdot 5}}\cdot {\frac {6^{2}}{5\cdot 7}}\cdot {\frac {8^{2}}{7\cdot 9}}\cdot {\frac {10^{2}}{9\cdot 11}}\cdot {\frac {12^{2}}{11\cdot 13}}\cdot {\frac {14^{2}}{13\cdot 15}}\cdot \ldots \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \pi =2\cdot \prod \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}$

Формула Виета

$\pi =2\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}\cdot \ldots \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \pi =2\cdot {\frac {1}{\cos {\frac {\pi }{4}}}}\cdot {\frac {1}{\cos {\frac {\pi }{8}}}}\cdot {\frac {1}{\cos {\frac {\pi }{16}}}}\cdot {\frac {1}{\cos {\frac {\pi }{32}}}}\cdot \ldots \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \pi =2\cdot \prod \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\cos {\frac {\pi }{2^{n}}}}}$

Предел

Число π представимо в виде предела:

$\pi =\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{4n}\cdot \left(n!\right)^{4}}{n\cdot \left[\left(2n\right)!\right]^{2}}}$

Интеграл

Число π представимо в виде интеграла.

Пример 1

$\pi =\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{\left(x+1\right){\sqrt {x}}}}$

Пример 2

$\pi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx\Leftrightarrow \pi =2\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx$

Интеграл Эйлера-Пуассона

$\pi =\left(\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{2}\ \Leftrightarrow \ \pi =4\left(\int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{2}$